第四節(jié)　方差分析(analysis of variance,ANOVA)

　　方差分析（analysis of variance，簡(jiǎn)寫(xiě)為ANOV或ANOVA)可用于兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本均數(shù)的比較。應(yīng)用時(shí)要求各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本；各樣本來(lái)自正態(tài)分布總體且各總體方差相等。方差分析的基本思想是按實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析目的把全部觀察值之間的總變異分為兩部分或更多部分，然后再作分析。常用的設(shè)計(jì)有完全隨機(jī)設(shè)計(jì)和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)的比較。

　　一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)的比較

　　又稱單因素方差分析。把總變異分解為組間（處理間)變異和組內(nèi)變異（誤差)兩部分。目的是推斷k個(gè)樣本所分別代表的μ₁，μ₂，……μ_k是否相等，以便比較多個(gè)處理的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。其計(jì)算公式見(jiàn)表19-6。

表19-6 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析公式

變異來(lái)源	離均差平方和SS	自由度v	均方MS	F
總	ΣX2-C*	N-1
組間（處理組間)		k-1	SS組間/v組間	MS組間/MS組間
組內(nèi)（誤差)	SS總-SS組間	N-k	SS組內(nèi)/v組內(nèi)

　　*C=（ΣX)²/N=Σ_ni,k為處理組數(shù)

表19-7 F值、P值與統(tǒng)計(jì)結(jié)論

　　方差分析計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為F，按表19-7所示關(guān)系作判斷。

　　例19.9 某湖水不同季節(jié)氯化物含量測(cè)量值如表19-8，問(wèn)不同季節(jié)氯化物含量有無(wú)差別？

表19-8 某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L)

　　H₀：湖水四個(gè)季節(jié)氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ₁=μ₂=μ₃=μ₄

　　H₁：四個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等

　　α=0.05

　　先作表19-8下半部分的基礎(chǔ)計(jì)算。

　　C= （Σx)²/N=(588.4)²/32=10819.205

　　SS_總=Σx²-C=11100.84-10819.205=281.635

　　V_總=N-1=31

　　V_組間=k-1=4-1=3

　　SS_組內(nèi)=SS_總-SS_組間=281.635-141.107=140.465

　　V_組內(nèi)=N-k=32-4=28

　　MS_組間=SS_組間/v_組間=141.107/3=47.057

　　MS_組內(nèi)=SS_組內(nèi)/v_組內(nèi)=140.465/28=5.017

　　F=MS_組間/MS_組內(nèi)=47.057/5.017=9.380

　　以v₁（即組間自由度)=3，v₂（即組內(nèi)自由度)=28查附表19-2，F(xiàn)界值表，得F_0.05(3,28)=2.95,F_0.01(3,28)=4.57。本例算得的F=9.380＞F_0.01(3,28),P＜0.01,按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，可認(rèn)為湖水不同季節(jié)的氯化物含量不等或不全相等。必要時(shí)可進(jìn)一步和兩兩比較的q檢驗(yàn)，以確定是否任兩總體均數(shù)間不等。

　　資料分析時(shí)，常把上述計(jì)算結(jié)果列入方差分析表內(nèi)，如表19-9。

表19-9 例19.9資料的方差分析表

　　二、隨機(jī)區(qū)組（配伍組)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較

　　又稱兩因素方差分析。把總變異分解為處理間變異、區(qū)組間變異及誤差三部分。除推斷k個(gè)樣本所代表的總體均數(shù)，μ₁，μ₂，……μ_k是否相等外，還要推斷b個(gè)區(qū)組所代表的總體均數(shù)是否相等。也就是說(shuō)，除比較多個(gè)處理的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義外，還要比較區(qū)組間的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。該設(shè)計(jì)考慮了個(gè)體變異對(duì)處理的影響，故可提高檢驗(yàn)效率。

表19-10隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析公式

變異來(lái)源	離均差平方和SS	自由度v	均方MS	F
總	ΣX2-C	N-1
處理間		k-1	SS處理/v處理	MS處理/MS誤差
區(qū)組間		b-1	SS區(qū)組/v區(qū)組	MS區(qū)組MS誤差
誤差	SS總-SS處理-SS區(qū)組	V總-v處理-v區(qū)組	SS誤差/v誤差

　　C、k、N的意義同表19-6，b為區(qū)組數(shù)

　　例19.10為研究酵解作用對(duì)血糖濃度的影響，從8名健康人中抽血并制成血濾液。每個(gè)受試者的血濾液被分成4份，再隨機(jī)地把4份血濾液分別放置0，45，90，135分鐘，測(cè)定其血溏濃度（表19-11)，試問(wèn)放置不同時(shí)間的血糖濃度有無(wú)差別？

　　處理間：

　　H₀：四個(gè)不同時(shí)間血糖濃度的總體均數(shù)相等，即μ₁=μ₂=μ₃=μ₄

表19-11 血濾放置不同時(shí)間的血糖濃度（mmol/L)

　　H₁：四個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等

　　α=0.05

　　區(qū)組間：

　　H₀：八個(gè)區(qū)組的總體均數(shù)相等，即μ₁=μ₂=……μ₈

　　H₁：八個(gè)區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全相等

　　α=0.05

　　先作表19-11下半部分和右側(cè)一欄的基本計(jì)算。

　　C=(ΣX)²/N=(169.56)²/32=898.45605

　　SS_總=ΣX²-C=904.1214-898.45605=5.66535

　　V_總=N-1=32-1=31

　　V_處理=k-1=4-1=3

　　V_區(qū)組=b-1=8-1=7

　　SS_誤差=SS_總-SS_處理-SS_區(qū)組=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297

　　V_誤差=（k-1)(b-1)=3×7=21

　　MS_處理=SS_處理/v_處理=2.90438/3=0.9681

　　MS_區(qū)組=SS_區(qū)組/v_區(qū)組=2.49800/7=0.3569

　　MS_誤差=SS_誤差/v_誤差=0.26297/21=0.0125

　　F_處理=MS_處理/MS_誤差=0.9681/0.0125=77.448　

　　F_區(qū)組=MS_區(qū)組/MS_誤差=0.3569/0.0125=28.552

　　推斷處理間的差別，按v₁=3，v₂=21查F界值表，得F_0.005(3,21)=3.07,F_0.01(3,21)=4.87,P＜0.01；推斷區(qū)組間的差別，按v₁=7，v₂=21查F界值表，得F_0.05(7,21)=2.49,F_0.01(7,21)=3.64,P＜0.01。按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)皆拒絕H₀，接受H₁，可認(rèn)為放置時(shí)間長(zhǎng)短會(huì)影響血糖濃度且不同受試者的血糖濃度亦有差別。但尚不能認(rèn)為任兩個(gè)不同放置時(shí)間的血糖濃度總體均數(shù)皆有差別，必要時(shí)可進(jìn)一步作兩兩比較的q檢驗(yàn)。

表19-12 例19.10資料的方差分析表

　　三、多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較的q檢驗(yàn)

　　經(jīng)方差分析后，若按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)不拒絕H₀，通常就不再作進(jìn)一步分析；若按α=0.05甚至α=0.01檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H₀，且需了解任兩個(gè)總體均數(shù)間是否都存在差別，可進(jìn)一步作多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較。兩兩比較的方法較多，在此僅介紹較常用的q檢驗(yàn)（Newman-Keuls法)

　　公式（19.13)

　　(各組n_i相等) 公式（19.14)

　　（各組n_i不等) 公式（19.15)

　　式中，x_Ａ-x_Ｂ為兩兩對(duì)比中，任兩個(gè)對(duì)比組A、B的樣本均數(shù)之差；sx_A-x_B為兩樣本均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤；n_i為各處理組的樣本含量；n_A,n_B分別為A、B兩對(duì)比組的樣本含量；MS_誤差為單因素方差分析中的組內(nèi)均方（MS_組內(nèi))或兩因素方差分析中的誤差均方（MS_誤差)。

　　計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為q，按表19-13所示關(guān)系作判斷。

　　例19.11 對(duì)例19.9資料作兩兩比較

　　H₀:任兩個(gè)季節(jié)的湖水氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ_A=μ_B

　　H₁：任兩總體均數(shù)不等，即μ_A≠μ_B

　表19-13 |q| 值、P值與統(tǒng)計(jì)結(jié)論

　　α= 0.05

　　1．將四個(gè)樣本的均數(shù)由大到小排列編秩，注明處理組。

　　2．計(jì)算 sx_A-x_B本例各處理組的樣本含量n₁相等，按式（19，14)計(jì)算兩均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤。已知MS_{組內(nèi)=}5.017,n=8

　　3．列兩兩比較的q檢驗(yàn)計(jì)算表（表19-14)

表19-14 兩兩比較的q檢驗(yàn)計(jì)算表

　　表中第（1)欄為各對(duì)比組，如第一行1與4，指A為第1組，B為第4組。第（2)欄為兩對(duì)比組均數(shù)之差，如第一行為X₁與X₄之差，余類(lèi)推。第（3)欄為四個(gè)樣本均數(shù)按大小排列時(shí)，A、B兩對(duì)比組范圍內(nèi)所包含的組數(shù)a，如第一“1與4”范圍內(nèi)包含4個(gè)組，故a=4。第（4)欄是按式（19.13)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量q值，式中的分母0.7919是按式（19.14)計(jì)算出來(lái)的S^X_A-^X_B。第（5)、（6)欄是根據(jù)誤差自由度v與組數(shù)a查附表19-3q界值表所得的q界值,本例v_誤差=28，因q界值表中自由度一欄無(wú)28，可用近似值30或用內(nèi)插法得出q界值，本例用近似值30查表，當(dāng)a=4時(shí)，q_{0.05(30,4)=3.85,}q_{0.01(30,4)=4.80} ,余類(lèi)推。第（7)欄是按表19-13判定的。

　　4．結(jié)論由表19-14可見(jiàn)，除秋季與冬季為P＜0.05外，其它任兩對(duì)比組皆為P＜0.01，按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)均拒絕H₀，接受H₁，可認(rèn)為不同季節(jié)的湖水氯化物含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。