一、均數(shù)的抽樣誤差
第十六章講了總體與樣本的關(guān)系。抽樣研究的目的是用樣本信息推斷總體特征。假設(shè)要了解某地20歲健康男大學(xué)生身高的總體均數(shù)，我們在該地隨機(jī)抽取了110名健康男大學(xué)生，得身高的樣本均數(shù)為172.73(cm)，可用它估計(jì)該地20歲健康男大學(xué)生身高的總體均數(shù)。由于存在變異，用樣本算得的樣本均數(shù)x往往不等于總體均數(shù)μ；若再從該地20歲健康男大學(xué)生中隨機(jī)抽取含量皆為110人的很多個(gè)樣本，因各樣本包含的個(gè)體不同，所得的各個(gè)樣本均數(shù)也不一定都相等，這種由抽樣而造成的樣本均數(shù)與總體均數(shù)之差異或各樣本均數(shù)之差異稱為均數(shù)的抽樣誤差。
在抽樣研究中，抽樣誤差是不可避免的，但可以估計(jì)其大小，可通過下面的模擬試驗(yàn)說明�，F(xiàn)把例18.2中110名20歲健康男大學(xué)生的身高寫在110個(gè)玻璃球上，把該110個(gè)身高數(shù)值作為假設(shè)的有限總體，其總體均數(shù)μ=172.73(cm)，標(biāo)準(zhǔn)差σ為4.09(cm)。將這些玻璃球放在布袋中作隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，每次從中隨機(jī)抽取10個(gè)玻璃球?yàn)橐粯颖荆涗浵聰?shù)據(jù)并計(jì)算其均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、然后把10個(gè)玻璃球再放入布袋，充分混勻后再抽，共重復(fù)100次，求得100個(gè)樣本均數(shù)x和標(biāo)準(zhǔn)差s，其樣本均數(shù)入表19-1。
表19-1 100個(gè)10球樣本均數(shù)
| 173.22 | 172.06 | 170.89 | 174.07 | 172.60 | 173.14 | 172.61 | 172.26 | 171.93 | 172.85 |
| 175.23 | 173.76 | 174.77 | 172.57 | 171.76 | 172.74 | 173.36 | 173.69 | 171.10 | 173.40 |
| 173.87 | 172.70 | 173.23 | 173.08 | 172.46 | 171.54 | 171.72 | 170.95 | 172.89 | 173.43 |
| 170.61 | 173.82 | 171.02 | 173.11 | 172.51 | 172.07 | 171.60 | 171.79 | 172.98 | 172.05 |
| 171.11 | 173.66 | 171.21 | 173.15 | 172.12 | 172.53 | 173.21 | 173.25 | 172.03 | 172.42 |
| 175.02 | 171.45 | 173.76 | 176.02 | 173.52 | 172.28 | 170.59 | 171.93 | 173.54 | 172.44 |
| 172.05 | 173.44 | 174.01 | 172.77 | 174.04 | 171.37 | 172.07 | 173.85 | 173.06 | 170.41 |
| 171.88 | 173.38 | 172.83 | 170.89 | 174.55 | 171.45 | 174.11 | 171.88 | 172.78 | 173.73 |
| 171.73 | 172.58 | 174.50 | 172.58 | 172.89 | 173.40 | 174.21 | 172.34 | 171.18 | 171.19 |
| 172.70 | 172.77 | 173.47 | 172.13 | 172.56 | 172.13 | 169.63 | 170.71 | 172.63 | 172.14 |
上述模擬試驗(yàn)的結(jié)果表明，在抽樣研究中抽樣誤差是不可避免的。反映均數(shù)抽樣誤差大小的指標(biāo)是樣本均數(shù)x的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error)。
二、標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算
按照前述標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)計(jì)算法，將表19-1的資料歸納成表19-2，可看出樣本均數(shù)的分布仍服從正態(tài)分布，然后按式（18.2)，（18.14)計(jì)算樣本均數(shù)的均數(shù)（記作x)和樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（記作sx)。
表19-2 100個(gè)樣本均數(shù)的頻數(shù)表及x、sx計(jì)算表
| 身高組段（cm) | 頻數(shù)f | 組中值f | fX | FX2 |
| 169～ | 1 | 169.5 | 169.5 | 28730.25 |
| 170～ | 7 | 170.5 | 1193.5 | 203491.75 |
| 171～ | 19 | 171.5 | 3258.0 | 558832.75 |
| 172～ | 36 | 172.5 | 6210.0 | 1071225.00 |
| 173～ | 26 | 173.5 | 4511.0 | 782658.50 |
| 174～ | 8 | 174.5 | 1396.0 | 243602.00 |
| 175～ | 2 | 175.5 | 351.0 | 61600.50 |
| 176～177 | 1 | 176.5 | 176.5 | 31152.25 |
| 合計(jì) | 100 | 17266.0 | 2981293.00 |
數(shù)學(xué)上可以證明：①各樣本均數(shù)的均數(shù)x等于μ；②標(biāo)準(zhǔn)誤σx（理論值)按式（19.1)計(jì)算
σx＝σ/x公式（19.1)
式中，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本含量。
本試驗(yàn)各樣本試驗(yàn)均數(shù)的均數(shù)x=172.66(cm)與μ=172.73（cm)相近，按式（19.1)算得的σx=4.09／x=1.29（cm)與本試驗(yàn)所得的樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差sx=1.21（cm)也很接近。
在實(shí)際的抽樣研究中，σ常屬未知，通常用單一樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計(jì)，得出標(biāo)準(zhǔn)誤sx（估計(jì)值)，其計(jì)算公式為：
sx＝s/x 公式（19.2)
例如模擬試驗(yàn)中1號(hào)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s=4.05（cm)，其標(biāo)準(zhǔn)誤sx（估計(jì)值)=4.05/x=1.28（cm)。
標(biāo)準(zhǔn)誤sx用來說明抽樣誤差的大小。由式（19.1)、（19.2)可知，標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與標(biāo)準(zhǔn)差的大小成正比，與x成反比。
三、t分布（t-distribution)
在前一章正態(tài)分布中曾提到，為了應(yīng)用方便，常將正態(tài)變量進(jìn)行變量變換-u變換[u=（X-μ)/σ]，使一般的正態(tài)分布變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。上述抽樣模擬試驗(yàn)表明，在正態(tài)分布總體中以固定n（本試驗(yàn)n=10)抽取若干樣本時(shí)，樣本均數(shù)x的分布仍服從正態(tài)分布，即N（μ,σx)。那末，對此進(jìn)行u變換[u=(x-μ)/σx]，也可變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1)，如圖19-1。
圖19-1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布示意圖
由于實(shí)際工作中，σ往往是未知的，常用sx作為σx的估計(jì)值，為與u變換區(qū)別，稱為t變換[t=（x-μ)/sx]，t值的分布為t分布。t分布的特征：①是以0為中心的對稱分布的曲線；②其形態(tài)變化與n（確切地說與自由度v)大小有關(guān)。自由度v越大，t分布越接近u分布；自由度越小，t 分布中間越低平且兩端向外伸展，所以t分布不是一條曲線，而是一簇曲線，如圖19-2。因此，t曲線下面積為95%或99%的界值不是一個(gè)常量，而是隨自由度大小而變化的。為了便于應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)學(xué)上根據(jù)自由度大小與t曲線下面積的關(guān)系，換算出t值表（附表19-1)以備參考。因t分布是以0為中心的對稱分布，故附表19-1只列出正值，若算得的t值為負(fù)值時(shí)，可用其絕對值查表。
圖19-2 自由度分別為1、5、∞的t分布
四、總體均數(shù)可信區(qū)間（confidence interval)的估計(jì)
用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量，statistic)來估計(jì)總體指標(biāo)（參數(shù)，parameter)，稱為參數(shù)估計(jì)。是抽樣研究的主要目的之一。參數(shù)估計(jì)的方法有兩種。一是點(diǎn)（值)估計(jì)（point estimation)，如用樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)。該法簡單，但未考慮抽樣誤差，而抽樣誤差在抽樣研究中又是不可避免的；二是用區(qū)間估計(jì)（interval estimation)，即按一定的可信度估計(jì)未知總體均數(shù)所在范圍。統(tǒng)計(jì)上習(xí)慣用95%（或99%)可信區(qū)間表示總體均數(shù)μ有95%（或99%)的可能在某一范圍。下面以總體均數(shù)μ的95%可信區(qū)間為例，介紹其計(jì)算公式。σ已知時(shí)按正態(tài)分布原理計(jì)算，σ未知時(shí)按t分布原理計(jì)算。
（一)σ已知時(shí)：由u分布可知，正態(tài)曲線下有95%的u值在±1.96之間，即：
-1.96≤u≤+1.96
移項(xiàng)后，x－1.96σx≤μ≤x+1.96σx，故總體均數(shù)μ的95%可信區(qū)間為
（x-1.96σx，x+1.96σx) 公式（19.3)
(二)σ未知，但n足夠大（如n＞100)時(shí):由t分布可知,當(dāng)自由度v越大,t分布越逼近u分布,此時(shí)t曲線下有95%的t值約在±1.96之間,即
-1.96≤t≤+1.96
x－1.96σx≤μ≤x+1.96σx,故總體均數(shù)μ的95%可是信區(qū)間為
�。▁-1.96sx，x+1.96sx)公式(19.4)
(三)σ未知且n小時(shí):某自由度v的t曲線下有95%的t值在±t0.05(v)之間,即
-t0.05(v)≤t≤t0.05(v)
x－t0.05(v)sx≤μ≤x+t0.05(v)sx,故總體均數(shù)μ的95%可信區(qū)間為
�。▁-t0.05(v)sx，x+t0.05(v)sx)公式(19.5)
例19.1 由例18.2某地110名20歲健康男大學(xué)生的身高資料,算得身高均數(shù)x為172.73(cm),標(biāo)準(zhǔn)差為4.09(cm),試估計(jì)該地20歲健康男大學(xué)生身高均數(shù)的95%可信區(qū)間。
該例n=110,n較大,按式(19.4)計(jì)算
�。�172.73-1.96×4.09/
,172.3+1.96×4.09/)=(171.79,173.49)該地20歲健康男大學(xué)生身高均數(shù)的95%的可信區(qū)間為171.97～173.49(cm)。
例19.2 由例18.1的11名20歲健康男大學(xué)生身高資料得出x為172.25(cm)，s為3.31(cm)，試估計(jì)該地20歲健康男大學(xué)生身高均數(shù)的95%可信區(qū)間。
該例n=11，n較小，按式（19.5)計(jì)算。V=11-1=10，由t值表查得t0.05(10)=2.228。
（172.25-2.228×3.31/,172.25+2.228×3.31/)=(170.03,174.47)該地20歲健康男大學(xué)生身高均數(shù)的95%可信區(qū)間為170.03～174.47(cm)。
